パップス＝ギュルダンの定理

上の図は２０１４年灘中一日目算数の１１番

で出題された図です。

この図の斜線部分を直線アを軸として回転させたときの

体積を求める問題でした。

中学受験では、図形を分解して求める方が正攻法でしょうが

計算の確認としてパップス＝ギュルダンの定理というものが

使えると便利です。

○パップス＝ギュルダンの定理

回転体の体積＝回転させたい図形の面積×図形の重心が移動する長さ

例えば、一辺４ｃｍの正方形を回転させた場合

回転させたい図形の面積は１６㎠

重心は正方形の中心なので移動する長さは

半径２ｃｍの円の円周＝４×３．１４＝１２．５６ｃｍ

体積は１６×１２．５６＝２００．９６㎤

となります。円柱の体積の公式でも確かめてみてくださいね。

灘の問題ですと、回転させたい図形を三角とV字に分けて考えます。

V字の重心は直線アから４ｃｍの直線上にあります。

よって、移動距離は８×３．１４で求められます。

V字の回転体の体積と三角錐を足すと回転体全体の

体積になります。

 

回転体の体積は岡山朝日の数学でも頻出の問題です。

ぜひ、計算のスピードアップに活用しましょう。

 

by edison